桥梁圆柱造价

1、要造一个圆柱形油罐，已知油罐上下两底面单位造价是侧面单位造价的a倍

要造一个圆柱形油罐，已知油罐上下两底面单位造价是侧面单位造价的a倍，体积为V，问底半径r和高h等于多少时，才能使该油罐的总造价最小？这时底直径与高的比是多少？解：设侧面单位造价为1，那么底面的单位造价为a，于是总造价Q=2aπr²+2πrh............(1)；V=πr²h...........(2)；由(2)得h=V/πr²，代入(1)式得Q=2aπr²+2V/r.........(3)对(3)取导数，并令dQ/dr=4aπr-2V/r²=0，即有2aπr³=V，故得极小点r=[V/(2aπ)]^(1/3)......(4)将(4)代入(2)式得h=V/(πr²)=(2aV²/π²)^(2/3).底直径与高之比=D/h=2r/h=2{[V/(2aπ)]^(1/3)}/[(2aV²/π²)^(2/3)]=π/(aV)即当r=[V/(2aπ)]^(1/3)，h=(2aV²/π²)^(2/3)时总造价最低，此时底直径和高之比=π/(aV)

2、欲做一个容积为V的无盖圆柱形蓄水池 已知池底单位造价为周围造价的2倍 问蓄水池的尺寸如何设计才能使总造

^解：假设底面半径为r,高为h,则有 V=πhr^2 h=V/πr^2 总造价设为S，如果周围单位造价为1，则池底为2，于是有 S=2πr^2+2πhr 将 h=V/πr^2代入 则S=2πr^2+2πrV/πr^2 =2πr^2+2V/r 求导函数S′=4πr-2V/r^2令S′=0 求拐点则4πr-2V/r^2=0 r=（V/2π)开三次方因为当r→0时，S无限大当r→+∞时，S无限大所以r=（V/2π)开三次方,S为最小值即，当专地面半径r=（V/2π)开三次方时，蓄水池的造价最低。属

3、要修建一容积为 V的圆柱形贮油桶．已知盖的造价为a元/m2，侧面的单位面积造价是盖单位面积造价的2倍，而

设贮油桶高为h，则h＝Vπ r2可建立贮油桶造价函数F(r)＝aπr2+2a2πrh+4aπr2＝a(5πr2+4Vr)，r∈（0，+∞）由F′(r)＝a(10πr?4Vr2)＝0，得唯一驻点r0＝32V5π

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